32-åringen, som varit given i startelvan, tvingades linka av planen efter behandling. Enligt TV4:s sändning satt Besirovic sedan på bänken med lindad högerfot.
Straffen kom efter att Bersant Celina fälldes av Jakob Kindberg. Hove satte säkert från elva meter.
AIK vann med 1-0 och är fortsatt obesegrat. Sju poäng på tre matcher.
För Kalmar var det tredje raka förlusten. Nykomlingen är fortfarande utan poäng i årets allsvenska. På torsdag väntar IFK Göteborg – ett annat lag som också saknar seger.
Hur länge Besirovic är borta återstår att se.