Axel Taonsa avgjorde efter 20 minuter. Burkinesens nionde mål i allsvenskan kom efter att mittbacken Axel Norén misslyckades med en brytning.
Mjällby började starkast med flera vassa chanser. Men efter målet tappade de greppet.
I andra halvlek nickade Tony Miettinen in en hörna. Domaren Fredrik Klitte dömde bort målet för ruff mot målvakten Anton Fagerström.
Starka protester från Mjällby följde.
– Deras målvakt knuffar vår spelare och får frispark, det är surt, säger Jacob Bergström till TV4.
– Villiam Granath blir ju knuffad först där. Det är straff. Sen slänger han sig in. Det är så dåligt, fortsätter Bergström.
Taonsa hade flera lägen att döda matchen med ett andra mål. Han misslyckades.
Mjällby har nu gått åtta matcher utan seger. Senaste vinsten kom den 9 maj. Regerande mästaren är i djup kris.