Det var åtta raka matcher utan seger i allsvenskan för de regerande mästarna. Senaste segern kom 9 maj mot Degerfors.
Elfsborg tog över efter en jämn inledning. Olsson tryckte in ledningsmålet efter en klackframspelning från Momoh Kamara.
Mjällby spelade upp sig i andra halvlek. Men flera räddningar från Isak Pettersson höll dem borta från nätet.
Det var första matchen utan stjärnan Elliot Stroud. Laget har bara vunnit en av sina tretton senaste matcher.
– Vi vet att det är tufft, men vafan vi kan inte lägga oss ner och dö, säger Axel Norén till TV4.
– Vi kämpar på och gnuggar på. Det är inget gnäll på varandra i laget i alla fall. Vi försöker vända det här tillsammans, säger Norén.
Förra säsongen slog Mjällby poängrekord – nu har titelförsvaret blivit en mardröm.