Sead Haksabanovic sköt MFF i ledningen tidigt i andra halvlek. Han prickade krysset från utsidan straffområdet.
– Jag har gjort några sådana i min karriär, så det är inget som förvånar mig längre, säger Haksabanovic.
MFF hade missat chanser tidigare. Erik Botheim brände en straff i första halvlek som BP-målvakten Leo Cavallius räddade. Redan i första minuten hade hemmayttern Obilor Okeke bränt ett halvöppet mål.
I den 77:e minuten kvitterade BP. Anton Kurochkin spelade fram Kamilcan Sever till 19-åringens första allsvenska mål.
MFF hade inte vunnit på två matcher och letade desperat efter tre poäng. De fick dem genom Sergio García som avgjorde sent.
För Oliver Berg, som lämnade Malmö för BP i januari, blev det förlust mot den gamla klubben.