Sion Oppong avgjorde i den 25:e minuten. 18-åringen fick bollen från Oliver Berg, sköt och såg bollen studsa på en försvarare och över Samuel Brolin.
– Vi hade med lite tur i dag, säger Oppong till SVT Sport.
Kalmar dominerade andra halvlek. Skapade flera farliga lägen. Lars Saetra nickade strax utanför i den 85:e minuten.
– De tar över och gör en ganska bra match. Men vår målvakt gör en jättebra match, säger Oppong.
BP hade Lukas Björklund att tacka för framspelningen. Han bjöd på en snurrfint innan Berg hittade Oppong i straffområdet.
Tre poäng som lyfter BP till åtta poäng efter åtta omgångar, medan Kalmar står kvar på sju.