Brännström, 50, ledde Mjällby till en niondeplats i Allsvenskan 2022. Sedan tränade han AIK.
Aksum har nu avskedats efter spekulationer om hans framtid. I Studio Allsvenskan kallade Björn Wesström Mjällbys säsong för "ett totalt misslyckande".
Mjällby skriver i sitt uttalande att Aksum "varit en uppskattad del av föreningen" och bidragit med "stort engagemang".
Avslutet kom ändå. Klubben har "under en längre tid löpande utvärderat verksamheten".
Brännström skriver på till och med december 2026. Avtalet innehåller en förlängningsklausul.
Han har tidigare tränat IK Sirius, AFC United, Dalkurd, Jönköpings Södra och kroatiska Hajduk Split.
Mjällby gör sin andra tränarförändring på tre år.